高中数学第一章相似三角形定理与圆幂定理1.2.2圆周角定理学案新人教B选修4-1

发布时间:2021-10-14 20:25:35

1.2.2 圆周角定理 [对应学生用书 P19] [读教材·填要点] 1.圆周角的定义 从⊙O 上任一点 P 引两条分别与该圆相交于 A 和 B 的射线 PA,PB, ?AB 叫做∠APB 所对 的弧,∠APB 叫做 ?AB 所对的圆周角. 2.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 3.圆周角定理的推论 (1)推论 1:直径(或半圆)所对的圆周角都是直角. (2)推论 2:同弧或等弧所对的圆周角相等. (3)推论 3:等于直角的圆周角的所对弦是圆的直径. [小问题·大思维] 1.圆心角的大小与圆的半径有关系吗? 提示:圆心角的度数等于它所对弧的度数,与圆的半径没有关系. 2.相等的圆周角所对的弧也相等吗? 提示:不一定.只有在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧才相等. [对应学生用书 P19] 圆周角与圆心角问题 [例 1] 锐角三角形 ABC 内接于⊙O,∠ABC=60°,∠BAC=40°,作 OE⊥AB 交劣弧 ?AB 于点 E,连接 EC,求∠OEC. [思路点拨] 本题考查圆周角定理与圆心角定理的应用.解决本题需要先求∠OEC 所对 的弧的度数,然后根据圆心角定理得∠OEC 的度数. 1 [精解详析] 连接 OC. ∵∠ABC=60°,∠BAC=40°, ∴∠ACB=80°. ∵OE⊥AB,∴E 为 ?AB 的中点. ∴ B?E 和 B?C 的度数均为 80°. ∴∠EOC=80°+80°=160°. ∴∠OEC=10°. 圆周角定理可以理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍;圆周角的度数等 于它所对圆心角的一半. 1.在半径为 5 cm 的圆内有长为 5 3 cm 的弦,求此弦所对的圆周角. 解:如图所示,AB=5 3 cm, 过点 O 作 OD⊥AB 于点 D. ∵OD⊥AB,OD 经过圆心 O, ∴AD=BD=5 2 3 cm. 在 Rt△AOD 中, OD= OA2-AD2=52 cm, ∴∠OAD=30°,∴∠AOD=60°. ∴∠AOB=2∠AOD=120°. ∴∠ACB=12∠AOB=60°. ∵∠AOB=120°,∴劣弧 ? AEB 的度数为 120°,优弧 ? AOB 的度数为 240°. ∴∠AEB=12×240°=120°, ∴此弦所对的圆周角为 60°或 120°. 利用圆周角定理证明线段相等 2 [例 2] 如图所示,已知⊙O 中 ?AB , ?AC 的中点分别是 E,F,直 线 EF 交 AC 于 P,交 AB 于 Q. 求证:△APQ 是等腰三角形. [思路点拨] 要证等腰三角形,可分别用弧的度数表示∠APQ 与∠AQP,然后根据等腰 三角形的定义作出判断. [精解详析] 连接 CE,BF, ∵E,F 分别是⊙O 中 ?AB 与 ?AC 的中点, ∴ ?AE = B?E , ?AF = C?F . 又∵∠FPC=∠ACE+∠PEC=12( ?AE + C?F )的度数,∠FPC=∠APQ, ∴∠APQ 的度数=12( ?AE + C?F )的度数, 同理∠AQP 的度数=12( ?AF + B?E )的度数, ∴∠APQ=∠AQP.∴△APQ 是等腰三角形. (1)在圆中,只要有弧,就存在着所对的圆周角.同弧所对的圆周角相等,而相等的角 为几何命题的推理提供了条件,要注意此种意识的应用. (2)证明一条线段等于两条线段之和,可将其分为两段,其中一段等于已知线段,再去 证明另一段也等于已知线段. 2.如图,AB 是⊙O 的一条弦,∠ACB 的*分线交 AB 于点 E,交⊙O 于 点 D. 求证:AC·CB=DC·CE. 证明:连接 BD.在△ACE 与△DCB 中, ∵∠EAC 与∠BDC 是同弧所对的圆周角, ∴∠EAC=∠BDC. 又∵CE 为∠ACB 的*分线, ∴∠ACE=∠DCB, ∴△ACE∽△DCB. 3 ∴ACCE=DCCB.∴AC·CB=DC·CE. 利用圆周(心)角定理及其推论求线段长 [例 3] 如图,AB 是⊙O 的直径,AB=2 cm,点 C 在圆周上,且 ∠BAC=30°,∠ABD=120°,CD⊥BD 于 D.求 BD 的长. [思路点拨] 本题考查“直径所对的圆周角为直角”的应用.解 答本题可连接 BC,然后利用直角三角形的有关知识解决. [精解详析] 连接 BC,∵AB 为⊙O 的直径, ∴∠ACB=90°. ∵∠BAC=30°,AB=2 cm, ∴BC=A2B=1 (cm). ∵∠ABD=120°, ∴∠DBC=120°-60°=60°. ∵CD⊥BD, ∴∠BCD=90°-60°=30°. ∴BD=B2C=0.5 (cm). 在圆中,直径是一条特殊的弦,其所对的圆周角是直角,所对的弧是半圆,利用此性质 既可以计算角、线段又可以证明线线垂直、*行等位置关系,还可以证明比例式相等. 3.如图,△ABC 中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以 AC 为直径的圆与斜边交于点 P, 求 BP 长. 解:连接 CP,∵AC 为圆的直径, ∴∠CPA=90°,即 CP⊥AB. 又∵∠ACB=90°, 4 ∴由射影定理可知 AC2=AP·AB. ∴AP=AACB2=1306=3.6. ∴BP=AB-AP=10-3.6=6.4. [对应学生用书 P21] 一、选择题 1.在⊙O 中,∠AOB=84°,则弦 AB 所对的圆周角是( ) A.42° B.138° C.84° D.42°或 138° 解析:借助圆形和圆周角定理可知,弦 AB 所对的圆周角有两种情况,即为 42°或 138°. 答案:D 2.如图,AC 是⊙O 的直径,AB、CD 是⊙O 的两条弦,且 AB∥CD, 如果∠BAC=32°,那么∠AOD=( ) A.16° C.48° B.32° D.64° 解析:∵AB∥CD,∴ ?AD = B?C . 又∵∠BAC=32°,∴ B?C 的度数为 64°. ∴∠AOD

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